Что такое Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

• десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
• десятичная дробь 0,5 — это 1/2;
• целое число 0 — это 0/1;
• целое число 6 — это 6/1;
• целое число 1 — это 1/1;
• бесконечная периодическая дробь 0,33333. — это 1/3;
• смешанное число — это 25/10;
• отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.

Рациональные числа — это .

Термин имеет латинские корни, и в переводе «ratio» означает «число», «расчет», «разум», «рассуждение» и «нумерация». Но есть и другие переводы – «дробь» и «деление».

РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – любое число, которое можно показать в виде дроби a/b. Здесь а – целое число, а b – натуральное.

Стоит напомнить, что:

1. Целые числа – это все возможные числа, как отрицательные, так и положительные. И к ним же относится ноль. Главное условие – они не должны быть дробными. То есть -15, 0 и +256 можно назвать целыми числами, а 2,5 или -3,78 – нет.
2. Натуральные числа – это числа, которые используются при счете, то есть они имеют «натуральное происхождение». Это ряд из 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до бесконечности. А вот ноль и отрицательные числа, как и дробные – к натуральным не относятся.

И если применить эти определения, то мы можем сказать, что:

РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – это вообще все возможные числа, кроме бесконечных непериодических десятичных дробей. Среди них натуральные и целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби, а также бесконечные периодические дроби.

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Рациональные числа»

Числа появились в практической деятельности для подсчета количества предметов. Такие числа, кроме нуля, называют натуральными числами. Они образуют множество натуральных чисел.

От первой буквы латинского слова naturalis – естественный, природный.

Если к натуральным числам присоединить число нуль и противоположные им числа (т.е. целые отрицательные числа), то получится множество целых чисел.

От первой буквы немецкого слова zahl – число.

А если к множеству целых чисел присоединить все дробные числа (положительные и отрицательные), то получится множество рациональных чисел.

От первой буквы французского слова quotient – отношение.

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют вот такой знак принадлежности .

Введённые обозначения множеств чисел и знак принадлежности позволяют кратко записывать утверждения.

«Число 5 принадлежит множеству натуральных чисел»

«Число –51 принадлежит множеству целых чисел»

«Число −5/7 является рациональным числом»

Число не принадлежит множеству:

Теперь рассмотрим, понятие подмножества.

Пусть есть некоторые два множества А и В.

Пусть каждый элемент множества В является элементом множества А.

В таких случаях, говорят, что множество В является подмножеством множества А.

Для записи этого утверждения также есть определенный знак , называют его знаком включения (т.е. одно множество содержится в другом).

Записывают это утверждение так:

а читают: В – подмножество множества А.

Понятие разности множеств.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Например, разность множества целых чисел и множества натуральных чисел является множество, состоящее из всех целых отрицательных чисел и нуля.

Вернёмся к рациональным числам. Вы уже знаете, что любое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное. Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами.

Сумма, разность и произведение рациональных чисел, тоже рациональные числа. Например:

Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

Обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.

Бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими. В периодических дробях повторяется одна или несколько цифр. Повторяющиеся цифры называют периодом. При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки: читают эту запись так «нуль целых и 63 в периоде».

Замечание: любое рациональное число можно записать не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого нужно приписать справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное утверждение: любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное.

Сумма, разность и произведение рациональных чисел, тоже рациональные числа.

Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

Любое рациональное число можно записать не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.