Что такое Рациональные числа
Содержание
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
- десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
- десятичная дробь 0,5 — это 1/2;
- целое число 0 — это 0/1;
- целое число 6 — это 6/1;
- целое число 1 — это 1/1;
- бесконечная периодическая дробь 0,33333. — это 1/3;
- смешанное число
— это 25/10; - отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.
Рациональные числа — это .
Термин имеет латинские корни, и в переводе «ratio» означает «число», «расчет», «разум», «рассуждение» и «нумерация». Но есть и другие переводы – «дробь» и «деление».
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – любое число, которое можно показать в виде дроби a/b. Здесь а – целое число, а b – натуральное.
Стоит напомнить, что:
- Целые числа – это все возможные числа, как отрицательные, так и положительные. И к ним же относится ноль. Главное условие – они не должны быть дробными. То есть -15, 0 и +256 можно назвать целыми числами, а 2,5 или -3,78 – нет.
- Натуральные числа – это числа, которые используются при счете, то есть они имеют «натуральное происхождение». Это ряд из 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до бесконечности. А вот ноль и отрицательные числа, как и дробные – к натуральным не относятся.
И если применить эти определения, то мы можем сказать, что:
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – это вообще все возможные числа, кроме бесконечных непериодических десятичных дробей. Среди них натуральные и целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби, а также бесконечные периодические дроби.
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Рациональные числа»
Числа появились в практической деятельности для подсчета количества предметов. Такие числа, кроме нуля, называют натуральными числами. Они образуют множество натуральных чисел.
От первой буквы латинского слова naturalis – естественный, природный.
Если к натуральным числам присоединить число нуль и противоположные им числа (т.е. целые отрицательные числа), то получится множество целых чисел.
От первой буквы немецкого слова zahl – число.
А если к множеству целых чисел присоединить все дробные числа (положительные и отрицательные), то получится множество рациональных чисел.
От первой буквы французского слова quotient – отношение.
Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют вот такой знак принадлежности 
.
Введённые обозначения множеств чисел и знак принадлежности позволяют кратко записывать утверждения.
«Число 5 принадлежит множеству натуральных чисел»
«Число –51 принадлежит множеству целых чисел»
«Число −5/7 является рациональным числом»
Число не принадлежит множеству:
Теперь рассмотрим, понятие подмножества.
Пусть есть некоторые два множества А и В.
Пусть каждый элемент множества В является элементом множества А.
В таких случаях, говорят, что множество В является подмножеством множества А.
Для записи этого утверждения также есть определенный знак 
, называют его знаком включения (т.е. одно множество содержится в другом).
Записывают это утверждение так:
а читают: В – подмножество множества А.
Понятие разности множеств.
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Например, разность множества целых чисел и множества натуральных чисел является множество, состоящее из всех целых отрицательных чисел и нуля.
Вернёмся к рациональным числам. Вы уже знаете, что любое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби 
, где m – целое число, n – натуральное. Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами.
Сумма, разность и произведение рациональных чисел, тоже рациональные числа. Например:
Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.
Обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.
Бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими. В периодических дробях повторяется одна или несколько цифр. Повторяющиеся цифры называют периодом. При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки: читают эту запись так «нуль целых и 63 в периоде».
Замечание: любое рациональное число можно записать не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого нужно приписать справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей.
Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Верно и обратное утверждение: любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.
Любое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное.
Сумма, разность и произведение рациональных чисел, тоже рациональные числа.
Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.
Любое рациональное число можно записать не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.
