Треугольник; определение и основные свойства и виды треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.

Посмотрите на треугольник на рисунке.

У него три вершины — , , и три стороны , и . У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут ([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке

будут звать ([эм-эн-ка]).

По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.

В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.

Остроугольный треугольник (понятие и определение):

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы острые, т.е. меньше 90°.

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все три угла острые. В свою очередь, острый угол – это угол, градусная мера которого составляет менее 90 градусов.

Рис. 1. Остроугольный треугольник

∠ АВС, ∠ BАC, ∠ BСA – острые углы треугольника

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является остроугольным, но не каждый остроугольный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем остроугольного треугольника. У равностороннего треугольника каждый угол составляет 60 °.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника,

∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Остроугольный треугольник также может быть одновременно равнобедренным треугольником .

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

Хотя в остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

Пусть он и называется равнобедренным, но из-за наличия угла более 90° не является остроугольным и является представителем другой группы.

Начертить его сложнее (рисунок следует начинать с основания и 2 острых углов и уже после создавать тупой), но процесс решения и изучения прост.

Отличие у него одно – точка пересечения двух высот, проведенных от углов при основании, выходит за периметр треугольника. Чтобы ее обозначить, необходимо нарисовать «продолжения» равнобедренных линий. Все остальные свойства совпадают.

В ключевых и фундаментальных разделах математики именно треугольник является основой для доказательства многих теорем и помощью в решении множества задач. Твердое знание его свойств откроет путь к успехам в расчетах, вычислениях, оформлении чертежей и фото в проектных работах.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂ и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .

Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8_2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84 0 , АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Виды треугольников по величине углов»

Сегодня я хочу начать нашу встречу с загадки.

Он и острый, да не нос,
И прямой, да не вопрос,
И тупой он, да не ножик, —
Что ещё таким быть может?

Догадались? Это угол. Помните, какими бывают углы? Мы с вами говорили о трёх видах углов. Есть углы прямые, которые можно увидеть на линейке-угольнике. Есть острые углы – они раскрыты меньше прямого угла. И есть тупые углы, которые раскрыты больше прямого угла. А сегодня мы с вами поговорим о том, что, оказывается, в зависимости от величины углов, треугольники тоже делятся на три вида.

Вот посмотрите на эти треугольники.

Видите, какие они разные? Они отличаются друг от друга по размеру и форме. Но сейчас мы возьмём треугольники под номерами два, пять и шесть и проверим в каждом из них при помощи линейки-угольника один наиболее широко раскрытый, то есть самый большой угол. Вы видите, что углы, которые мы проверили, больше, чем прямой угол, то есть они тупые.

А теперь давайте посмотрим треугольники под номерами один, три, семь. Опять проверяем самые большие углы в каждом из них.

А вот в них углы совпадают с прямым углом линейки-угольника. Значит, эти углы тоже прямые.

Проверяем оставшиеся треугольники. У этих треугольников нет прямых и тупых углов, то есть все углы – острые.

Вот у нас появилось три группы треугольников. В первой группе в каждом треугольнике есть один тупой угол. И, несмотря на то, что остальные два угла острые, такие треугольники называются тупоугольными.

Во второй группе в каждом из треугольников один из углов – прямой. И, несмотря на то, что остальные два угла острые, такие треугольники называются прямоугольными.

В третьей группе – треугольники, в которых все углы острые. Такие треугольники называются остроугольными.

Если мы вспомним виды треугольников по их сторонам, то можно сказать, что тупоугольные треугольники могут быть разносторонними и равнобедренными.

То же можно сказать и о прямоугольных треугольниках. И они бывают разносторонними и равнобедренными.

А вот остроугольные треугольники могут быть не только разносторонними и равнобедренными, но и равносторонними.

Но при этом равносторонние треугольники могут быть только остроугольными.

А теперь я предлагаю вам посмотреть вот на эти треугольники, и на глаз, без измерений, определить вид этих треугольников в зависимости от их углов.

Определите сначала номера прямоугольных треугольников, затем – тупоугольных, и – остроугольных.

Ну а теперь давайте проверим, справились ли вы с заданием.

Про третью группу треугольников мы говорим, что у них острые углы. А про тех ребят, которые справились с заданием, можно сказать, что у них острый глаз.

А сейчас, ребята давайте повторим то, что вы сегодня от меня услышали.

Если в треугольнике есть тупой угол, такой треугольник называют тупоугольным.

Если в треугольнике есть прямой угол, такой треугольник называют прямоугольным.

Если в треугольнике все углы острые, такой треугольник называют остроугольным.

Я надеюсь, вы не забыли, что в тупоугольном треугольнике только один угол может быть тупым, а два остальных обязательно будут острыми. Точно так же и в прямоугольном – один прямой и два острых.

Ну вот теперь можно и попрощаться с вами, ребята. До следующей встречи, мои друзья.